국내도서 요약 

수학, 풀지 말고 실험해 봐2

저   자
라이이웨이(역:김지혜)
출판사
미디어숲
출판일
2022년 10월
서   재







  • 수학이 재미없고 어렵기만 하다면 흥미를 느끼도록 하는 것이 먼저겠지요? 수학의 흥미를 일깨우는 일상생활 속 수학실험 12가지를 소개합니다. 흥미로운 과정을 통해 수학의 본질을 이해하고 학교에서 배우는 수학에 대한 기대와 적극적인 참여를 유도할 수 있습니다.



    수학, 풀지 말고 실험해 봐 2


    파인애플이 덧셈을 한다고?

    수학 선생님이 흔히 받는 질문 중의 하나가 “수학은 도대체 어디에 다 써먹나요?” 라는 말이다. 이 질문에 대한 모범 답안은 다음과 같다. “수학은 우리가 사물 뒤에 숨은 패턴을 발굴하도록 한다!”


    패턴은 영어로 ‘Pattern’으로 ‘무늬’라는 뜻도 있다. 우리 엄마의 치맛자락에도 패턴이 가득하다. 이에서부터 내려오면서 반복되는 단순한 패턴, 네모난 상자, 꽃 하트 등 치마에 새겨진 무늬는 멀리서 보면 화려하고 복잡하지만, 가까이서 보면 같은 패턴을 가진다.


    대자연의 많은 사물은 모두 패턴을 가지고 있다. 예를 들면 벌집은 모두 정육각형 구조로 이루어져 있다. 파인애플의 표면은 비늘처럼 생긴 문양이 널리 퍼져 있는데 각각의 비늘모양은 모두 하나의 과목으로, 이 과목들은 줄줄이 나선을 형성하는데 나선의 수는 8, 13, 21이라는 숫자를 따른다. 다시 말해, 파인애플의 과목 배열은 실제로 하나의 수학 문제이다.


    자연에서 흔히 볼 수 있는 이런 성장 패턴을 발견한 사람은 수학자 레오나르도 피보나치다. 그는 패턴이 나타내는 수학적 규칙을 찾아냈는데 이것이 바로 ‘피보나치 수열’이다. 수열은 일련의 숫자배열을 말하는 것으로 수들 간의 관계와 법칙을 보여준다.


    피보나치 수열의 법칙은 매우 간단하다. 앞의 두 숫자는 1이고, 이후 각각의 숫자는 앞의 두 숫자를 합한 것이다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…  당시 피보나치는 토끼의 번식을 예로 들어, 절묘하게 이 수열과 성장 간의 관계를 모두 음미하도록 하였다.


    파인애플과 토끼의 예만 있을까?

    아무리 생각해도 파인애플이 어떻게 덧셈을 하는지 여전히 알 수 없는 사람도 있을 것이다. 사실 파인애플은 수학을 모른다. 이것은 우연의 일치가 아니라 생물이 성장할 때 자연법칙에 따르는 현상이다. 생물은 일정 기간 성장해야 하고 성장하면 다음 세대를 탄생시킨다. 여기서 다음 세대는 개체 수의 증가가 아닌 꽃잎이나 나뭇가지가 성장하는 순서일 수 있다.


    수학은 단지 이런 법칙을 묘사할 뿐이며 비단 파인애플 또는 토끼분만 아니라 자연에는 온통 ‘피보나치 수열’로 가득 차 있다. 어렸을 때 미술 시간에 나무를 그리라고 하면, 나는 먼저 줄기를 하나 그리고 좌우로 가지를 거쳐 두 개의 줄기를 만든 후, 다시 줄기를 위로 올린 후 다른 두 개의 작은 가지를 그려나갔다.


    이때, 나뭇가지 수는 1, 2, 4, 8, 16, …이 되었다. 하지만 나는 나무 그림을 그릴 때마다 마음에 들지 않았고, 항상 내가 그린 나무는 아무리 봐도 가짜처럼 보였다. 그 당시 내가 내린 결론은 미술에 소질이 없다는 것을 인정하는 것이었는데 나중에 알고 보니 또 다른 이유가 있었다. 그것은 당시 내가 관찰하지 못했던 나무의 생장 패턴이 사실은 피보나치 수열을 따른 것으로, 내가 인위적으로 그린 나무와는 차이가 있었던 것이다.


    수학은 추상적이기 때문에 서로 다른 것을 뛰어넘을 수 있다. 여러 가지 사물 뒤에 공통적으로 존재하는 패턴을 묘사한다. 수학은 생활과 직접적인 관련이 없어 보이지만 자세히 보면 생활 곳곳에 수학이 널려 있는 것을 발견할 수 있을 것이다! 


    황금 비율은 정말로 아름다울까?

    황금 비율은 가장 아름다운 비율로 이집트의 피라미드, 그리스의 파르테논 신전, 레오나르도 다빈치가 그린 「모나리자」와「최후의 만찬」등의 작품에서도 찾아볼 수 있다. 그런데 황금 비율이 도대체 뭘까? 그리고 많은 사람들이 황금 비율이 피보나치 수열과 관련이 있다고 하는데 어떤 내용일까?


    아름다운 숫자에 숨은 비밀번호

    황금 비율은 신기한 수학적 특성을 보인다. 예를 들어, 1을 황금 비율로 나누면 화음 비율의 소수부분이 그대로 나타난다. 황금 비율에 황금 비율을 곱한 값은 황금 비율에 1을 더한 값이다. 이런 특성들은 오래전부터 수학자들이 연구해 왔다.


    우리가 특정한 비율을 좋아하는 것이 사실인지는 알 수 없다. 예를 들어 다리가 긴 사람이 몸매가 좋아 보이기는 하나 그 비율이 꼭 황금 비율은 아니고, 누구나 좋아하는 꽃꽂이 작품에서 주화와 화병의 높이의 비율이 반드시 1.618은 아니다. 황금 비율의 명성이 너무 높아서 사람들이 스스로 미와 연결시켜 예술에서 그 답을 찾으려고 애쓰는 것뿐이라는 연구도 있다. 나중에 누군가가 여러분에게 황금 비율이 얼마나 아름다워 보이는지를 억지로 알리려고 한다면 꼭 그렇지 않을 수도 있다는 점을 일깨워주는 것도 필요할 것이다.


    간단한 구구단의 법칙

    곱셈표는 인류 지혜의 결정체로써 이미 중국 춘추전국시대에 9×9 곱셈표를 노래로 엮어 암송했다고 전해진다. 곱셈표를 외우면 아주 많은 성가신 계산을 해야 할 때, 시간을 절약할 수 있다. 덧셈이나 곱셈에 관계없이 결국 같은 결과를 산출할 수 있지만, 곱셈을 이용하면 계산식을 단축할 수 있다.


    수학적 방법은 우리가 연산을 더 편하고 정확하게 하도록 도와준다. 곱셈표의 수는 모두 한 자릿수이기 때문에 외우기가 편하다. 기억만 할 수 있다면 구구단을 기초로 열 자릿수의 곱셈도 두렵지 않게 할 수 있다.


    이제 곰곰이 생각해 보자. 여러분은 어떻게 구구단 표를 외웠을까? 첫 번째에서 81번째까지 외웠나? 혹은 그중에 중복되는 항을 발견하였나? 그중 몇 개만 외우면 나머지 몇 개는 사실 외우지 않아도 된다. 예를 들면, 4×6=24의 경우 곱셈의 교환법칙에 따라 6×4=24이다. 중국 고대의 곱셈표는 ‘대구구’와 ‘소구구’ 두 종류로 나누는데, 대구구는 9×9=81개의 곱셈을 기재, 소구구는 교환법칙을 적용하여 45개의 곱셈만 표시했다.


    9×9 곱셈표

    9와 관련된 곱셈 법칙을 살펴보자. 9는 (10-1)로 볼 수 있으므로 계산식은 다음과 같다.


    9 × 1 = (10×1) - (1×1) = 0 + (10-1) = 9

    9 × 2 = (10×2) - (1×2) = 10 × 1 + (10-2) = 10 + 8

    9 × 3 = (10×3) - (1×3) = 10 × 2 + (10-3) = 20 + 7

    9 × 4 = (10×4) - (1×4) = 10 × 3 + (10-4) = 30 + 6


    결국 규칙은 ‘십의 자리 숫자는 차례대로 1을 더하고 일의 자리 숫자는 차례대로 1을 뺀다,’ 이다. 또는 아래와 같이 계산해도 더 간단하게 구할 수 있다.


    9 × 1 = 10 - 1 = 9

    9 × 2 = 20 - 2 = 18

    9 × 3 = 30 - 3 = 27

    9 × 4 = 40 - 4 = 36


    5의 곱셈은 배수의 꼴 5, 10, 15, 20의 법칙을 나타낸다. 이 외에도 표에서 더 많은 법칙을 끄집어낼 수 있다. 예를 들어 2번째 열 2의 곱셈을 보자.


    6번째 칸 : 6 × 2 = 12 = 2 + 10 = 1번째 칸 + 5번째 칸

    7번째 칸 : 7 × 2 = 14 = 4 + 10 = 2번째 칸 + 5번째 칸

    8번째 칸 : 8 × 2 = 16 = 6 + 10 = 3번째 칸 + 5번째 칸

    9번째 칸 : 9 × 2 = 18 = 8 + 10 = 4번째 칸 + 5번째 칸


    이 네 칸의 숫자는 앞 네 칸의 숫자를 각각 5번째 칸의 숫자와 더한 것이다. 5번째 칸은 10이기 때문에 기억하기 쉽다. 다른 짝수 열도 마찬가지로 유사한 규칙이 있는데 앞 5칸의 숫자를 알기만 하면 규칙으로 기억하기 쉽다.


    수학은 단지 계산에만 몰두하는 것이 아니라, 사고가 법칙을 만드는 이유를 알 수 있도록 한다. 곱셈표를 외울 때 숫자 사이에 존재하는 법칙을 관찰하면, 우리가 암기할 때 잠재의식에서 약간의 법칙을 알아채고 기억하는 데에 활용할 수 있다. 이제, 이 법칙을 이해하게 되어 곱셈의 연산이 더욱 명백해졌다.


    동전 애벌레 진화 게임

    19세기 영국 과학자 다윈은 100여 년 전에 인간이 어디에서 왔는지, 그리고 이 세상에 다양한 생물이 존재하는 이유에 대한 진화론을 제시하여 사람들의 생각에 중대한 영향을 끼쳤다. ‘물경천택, 적자생존’은 다름 아닌 다윈이 제시한 진화 개념으로, 생물은 대대로 진화하여 환경에 적응하고, 살아남기에 부적합한 생물은 도태하며 시간의 흐름에 따라 그 특징이 서서히 변화한다는 것을 말한다.


    무슨 뜻일까? 애벌레를 예로 들어 설명해보자. 이 세상 어딘가에 검은 세상이 있고 애벌레들은 몸 안에 검은 유전자가 있어 검은색으로 자란다고 가정해보자. 그런데 어떤 지역의 환경은 불행히도 순백색이고 검은색은 백색 환경에서 뚜렷하게 눈에 띄기 때문에 검은 애벌레는 매순간 부단히 잘 피하지 않으면 새들에게 발견되어 잡히기 쉽다.


    그러던 어느 날 애벌레 한 마리가 태어났는데, 뜻밖에도 약간 잿빛으로 태어났다. 알고 보니 검은 유전자가 하얀색으로 변해있었다. 원래 많던 검은 색소에 약간의 백색 색소가 더해져 애벌레의 색을 덜 검게 만들고, 검은 애벌레에 비해 눈에 잘 띄지 않아 천적의 추적을 피하기 쉬웠다.


    이렇게 또 몇 세대가 지나면서 돌연변이가 다시 발생하여 회색 개체의 일부 검은색 유전자가 다시 백색 유전자로 돌변했고 털 색깔을 더욱 옅게 하여 백색 환경에 더 잘 적응하게 되었다. 이후 여러 번의 돌연변이를 거치면서 남아 있는 애벌레의 빛깔은 점점 더 옅어지게 되었고, 결국 환경과 동일한 흰색이 되어버렸다.


    애벌레 진화 게임

    애벌레 진화 게임을 실험을 통해 더 직접적으로 살펴보자. 동전 여섯 개를 애벌레로 배열한다. 이때 동전 하나하나는 애벌레의 한마디를 의미한다. 동전의 앞뒷면은 다른 특징을 나타내며 숫자 1과 0으로 쓴다. 주사위를 던져 애벌레의 돌연변이의 운명을 결정한다. 목표는 숫자가 클수록 애벌레 점수가 높으며 이상적인 애벌레에 가까워지는 것이다.


    예를 들어, 101010으로 자라는 애벌레가 있다고 하자. 애벌레는 자기와 같은 형태로 번식할 수 있는데 진화하여 0이 1이 되거나 도태되어 1이 0이 될 수도 있다. 1점씩 계산하여 가장 점수가 높은 애벌레만 계속 살게 하고 다음 세대를 번식시킨다. 몇 세대를 반복하면 할수록 애벌레의 점수는 높아진다.


    진화 속 수학

    게임을 6세대 돌연변이까지 진행했을 때 최고점은 몇 점인가? 점수는 점점 커질까? 세대별 점수가 오르락내리락할까? 탈락 메커니즘이 있어 가장 높은 점수의 애벌레만 살아남기 때문에 남는 세대가 많을수록 점수가 높아져야 한다. 만약 매번 진화하는 순간마다 동전 하나를 뒤집어서 0을 1로 만들어버린다면, 나중에 6점짜리의 이상적인 애벌레로 빠르게 진화하는데 몇 세대가 걸릴까?


    생각해 보자. 1세대의 101010에는 3개의 0이 있다. 번식하여 2세대에는 돌연변이가 일어나 2개의 0이 남는다. 3세대가 되면 1개의 0이, 4세대가 되면 111111가 된다. 확률을 계산해 보자. 애벌레는 원래 6개의 마디에 0, 1이 각각 3개씩 있다. 2세대에 0이 1로, 1이 0이 되는 확률은 각각 1/2이다. 동전을 연속해서 3번 던진다고 할 때 공교롭게도 3번 모두 1이 0으로 바뀔 확률은, 1/2×1/2×1/2=1/8 적어도 하나가 0이 1로 바뀔 확률은, 1-1/8=7/8 이다.


    우리는 1과 0을 색에 관한 유전자 즉, 0은 검은색, 1은 흰색이라고 상상할 수 있다. 높은 점수를 얻은 옅은 색의 애벌레가 잘 살아남는데, 111111의 이상적인 애벌레가 바로 백색 환경과 같은 색으로 진화된 애벌레이다. 물론 자연에서 돌연변이의 확률은 훨씬 적고 진화도 훨씬 오래 걸린다.


    수학을 응용하여 생물 개념을 보다 조리 있고 이해하기 쉽게 만들 수 있다. 진정한 진화 과정은 훨씬 더 복잡하다. 과학자들은 더 많은 수학적 도구를 사용하여 진화를 보여주고 여러 가지 다른 분석을 할 수 있다. 재미있는 것은 생활 곳곳에서 수학의 흔적을 발굴할 수 있다는 것이다.


    사물을 보는 각도가 중요하다

    블랙홀에 대해 들어본 적 있는가? 인류는 2019년 4월 10일 과학사에 중요한 이정표를 세웠다. 처음으로 블랙홀을 직접 관측한 것이다. 블랙홀은 우리로부터 5,500만 광년 떨어져 있는데 사진상 후광의 실제 거리는 300천문단위(au)이다. ‘광년’이나 ‘천문단위’는 모두 매우 큰 거리 단위로, 이는 여러분이 상상할 수 없을 저도로 큰 값이다. 그런데 블랙홀 관측과 관련해 망원경이 관측한 블랙홀의 선명도를 나타내는 ‘마이크로초(㎲)’라는 또 다른 단위가 등장했는데 이것은 도대체 어떤 의미일까?


    어떤 사물의 두 가지 척도 즉, 사물의 크기와 사물 간의 거리를 분명하게 볼 수 있을까? 거리가 가까울수록 사물을 더 잘 볼 수 있다. 예를 들어 5m 떨어진 곳에 10cm 너비의 물건을 잘 볼 수 있다고 할 때 물건을 두 배 떨어진 거리, 즉 10m 떨어진 곳에 둔다면 너비가 두 배인 20cm는 되어야 똑같이 보일 것이다. 다시 말해 사물이 잘 보이느냐, 보이지 않느냐는 사물의 크기와 거리의 비와 관련이 있을 것이다.


    원 하나가 있다고 생각해 보자. 여러분이 원의 중심에 서 있고 원주 위에 물건이 놓여있다면 그 물건과 여러분과의 거리는 원의 반지름의 길이와 같다. 물체의 크기는 호의 길이와 관련 있다. 이 호의 길이와 원의 반지름을 가지고 ‘각도’를 설명할 수 있다. 물체가 작을수록 혹은 거리가 멀어질수록, ‘눈’으로부터 호의 양 두 끝점을 연결한 각도는 점점 작아진다. 이 각도를 ‘시각’이라고 한다.


    의학적으로 볼 때, 육안으로 구별할 수 있는 가장 작은 시각, 즉 시력을 가늠하는 기준은 일반적으로 약 1/60도(°) 정도이다. 시력검사표에는 크기가 다른 C자가 여러 개 있는데, 아래로 갈수록 C가 작아지고 열린 부분이 어느 쪽을 향하는지 쉽게 알 수 없으며, 위로 갈수록 C가 커지고 대응하는 시력 숫자도 커진다. 이 숫자는 사실 각도와 관련되는 것으로, 망원경이 보는 블랙홀의 선명도와 같다.


    그렇다면 마이크로초는 무엇일까? 마이크로초는 각도의 단위이다. 1도(°)는 60분(‘), 3600초(“)는 1000밀리미터초(㎲), 1밀리미터초(㎳)는 1000마이크로초(㎲)이다. 정상시력의 시각이 대략 60도(°) 정도라고 하면 블랙홀을 관측하는 망원경이 얼마나 대단한지 알 수 있는데 42마이크로초(㎲) 정도로 해상도가 정밀하다.


    BMI 수치에 숨은 수학

    스스로 살이 쪘거나 말랐다고 생각하고 있는가? 너무 말라서 허약한 사람은 뚱뚱한 몸이 보기 좋다고 생각할 수 있지만 건강하지 않을 수도 있다. 그렇다면 건강함은 어떻게 판단할 수 있을까? 뚱뚱하다는 것의 기준은 무엇일까?


    이 문제에 대해 19세기의 벨기에 수학자 아돌프 케틀레는 어떤 사람이 비만인지 아닌지를 판단하는 기준이 있어야 한다는 생각에 체질량지수 BMI를 고안하였다. 이는 키와 함께 체중을 고려하여 계산한 것으로 어떤 사람의 비만 정도를 나타낸다. 즉, 온도계의 수치로 체온을 측정하는 것과 같이 BMI 수치로 비만 정도를 판단하는데, BMI 값이 클수록 비만 정도가 높다는 것을 의미한다. 


    일반적으로 사람의 BMI 수치는 18.5~24사이에 분포하는데 18.5미만이면 너무 말랐고, 24이상이면 과체중이라고 판단한다.


    키가 170cm인 경우 BMI 공식에 숫자를 대입하면, 1.7×1.7×18.5=53.465kg이므로, 체중이 53.465kg 이하라면 저체중을 의미한다. 1.7×1.7×24=69.36kg이므로, 체중이 69.36kg을 초과하면 과체중을 의미한다.


    즉, BMI 수치가 24 이상으로 올라가지 않도록 운동, 식단 조절을 많이 해야 한다. 그렇지 않으면 경도비만이 되고, 심지어 35 이상으로 치솟아 중도비만이 된다! 그런데 여러분과 친구들의 BMI 수치는 보통 20 이하로 나타나는 반면 어른들의 BMI 수치는 일반적으로 높게 나타나는 현상을 발견할 수 있을 것이다.


    설마, 어린이가 어른보다 뚱뚱하지 않다는 것을 의미할까? 당연히 그런 의미는 아니다! 이런 현상은 BMI 공식의 분모에서 키가 만들어내는 영향으로, BMI 수치가 실제 상황과 오차가 생기게 하는 원인이다. 오늘날 BMI 공식은 점점 더 정교하지 못한 것으로 간주되는데, 어린아이와 같이 키가 작은 사람들의 경우 BMI 수치가 일반적으로 낮게 나타나는 편으로 지나치게 마른 것으로 오해되기 쉽다.


    BMI 공식

    그래프를 분석해 보면 평균 체격의 어떤 사람의 어린 시절 BMI 값은 낮았으나 점점 연령이 증가할수록 BMI 값도 증가하는 것을 볼 수 있다. 하지만 상식적으로 생각하면 ‘성장할수록 살이 찐다’는 말로는 결코 설명할 수 없다.


    그렇다면 이 표준은 당초에 어떻게 정한 것일까? BMI 공식을 발명한 케틀레는 사람이 성장할 때 키, 체격 등 성장한 값의 비율이 모두 같다면 체중은 키의 세제곱에 비례해야 하지만 실제로는 그렇지 않다고 생각했다. 관측과 계산에 따르면 나이가 들수록 사람 체중의 제곱은 대략 키의 다섯 제곱에 비례한다.


    19세기만 해도 대부분의 사람들은 현대인처럼 수학 실력이 좋지 않았고, 컴퓨터로 계산을 할 수도 없었기 때문에 계산하기 좋은 근사값이 필요했다. 영국 옥스퍼드대학교 교수 닉 트레페덴은 현대에는 컴퓨터의 힘을 빌려 오차를 줄일 수 있어야 한다고 지적하며 새로운 공식을 제안하고 오차를 줄였다.


    이 공식은 작은 키의 BMI 수치가 이전 공식에서보다 높게 계산되고 반대로 큰 키의 BMI 수치는 작아지기 때문에 키 큰 사람이 그렇게 살이 찌지 않았음을 보여준다. 반면 어린아이는 작은 키라 이전 공식으로 산출한 BMI 값이 작았기 때문에 새로운 공식으로 수정할 수 있다.


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    본 정보는 도서의 일부 내용으로만 구성되어 있으며, 보다 많은 정보와 지식은 반드시 책을 참조하셔야 합니다.